Вторая младшая группа математика один много: Конспект занятия по математике в младшей группе на тему Один-много

4 X

Однако фундаментальный группоид не является полным инвариантом. Он может легко отличить круг от твердого диска, который ограничивает круг. В фундаментальном группоиде круга различные извивающиеся версии пути между двумя точками могут быть помечены целыми числами, которые записывают, сколько раз траектория наматывается вокруг круга, и знаком + или -, указывающим, соответственно, направление по часовой стрелке или против часовой стрелки. транзита. Напротив, в фундаментальном группоиде диска существует только один путь до гомотопии между любой парой точек.Фундаментальный группоид пространства, образованного надувной внешней стороной пляжного мяча, сферой в топологических терминах, также имеет такое описание: существует единственный путь до гомотопии между любыми двумя точками.

. Большая проблема фундаментального группоида состоит в том, что точки и пути не обнаруживают многомерную структуру пространства, потому что точка и интервал сами являются нуль- и одномерными соответственно. Решением является также рассмотрение непрерывных функций из двумерного диска, называемых гомотопиями, и «высших гомотопий», определяемых непрерывными функциями из твердого трехмерного шара, и аналогично для других шаров в 4, 5, 6 или более измерениях.

Естественно спросить, какую алгебраическую структуру образуют точки, пути, гомотопии и высшие гомотопии в пространстве X: эта структура π _∞ X («pi бесконечность X »), называемая фундаментальной ∞-группоид X, определяет пример ∞-категории, бесконечномерный аналог категорий, впервые введенных Эйленбергом и Мак Лейном. Как и обычная категория, ∞-категория имеет объекты и преобразования, визуализированные в виде одномерных стрелок, но она также содержит «высшие преобразования», изображенные двумерными стрелками, трехмерными стрелками и т. Д.Например, в π _∞ X объекты и стрелки являются точками и путями, которые больше не рассматриваются вплоть до покачивания, в то время как преобразования более высоких измерений кодируют гомотопии высших измерений. Как и в обычной категории, стрелки в любом фиксированном измерении могут быть составлены: если у вас есть две стрелки f: X → Y и g: Y → Z, , также должна быть стрелка g ∘ f: X → Z. Но есть загвоздка: при попытках захватить естественные примеры, такие как фундаментальный ∞-группоид пространства, закон композиции должен быть ослаблен.Для любой составной пары стрелок должна существовать составная стрелка, но больше не существует уникальной указанной составной стрелки.

. Этот недостаток уникальности делает сложным определение ∞-категорий в классических основах математики, основанных на множествах, потому что мы больше не можем думать о композиции как об операции, напоминающей операции в универсальной алгебре. Хотя ∞-категории становятся все более центральными в современных исследованиях во многих областях математики, от квантовой теории поля и алгебраической геометрии до алгебраической топологии, они часто считаются «слишком сложными» для всех, кроме специалистов, и не регулярно включаются в учебные программы, даже в учебных заведениях. выпускной уровень.Тем не менее, многие другие и я рассматриваем ∞-категории как революционно новое направление, которое может позволить математикам мечтать о новых связях, которые в противном случае было бы невозможно строго сформулировать и доказать.

Краткое руководство по современной математической терминологии

Категория: указанный набор объектов и преобразований между ними с правилом композиции

Состав: для применения одного преобразования к результатам другого

Идентичность: преобразование объекта в себя, которое никоим образом не меняет его

Симметрия: обратимое преобразование объекта в себя

Изоморфизм: структурное понятие «сходства», которое может существовать между парой объектов в категории

Фундаментальный группоид: категория, объектами которой являются точки в пространстве, а преобразования — пути между ними, вплоть до гомотопии
.

Гомотопия: «путь между путями», определяемый непрерывной деформацией от одного пути к другому

Бесконечная категория: бесконечномерный аналог категории, который добавляет трансформации более высоких измерений и ослабляет правило композиции

Фундаментальный бесконечный группоид: бесконечная категория точек, путей, гомотопий и высших гомотопий в пространстве

Горизонт будущего

Исторический опыт показывает, однако, что самая экзотическая математика сегодняшнего дня в конечном итоге будет считаться достаточно простой, чтобы преподавать математику студентам бакалавриата в будущем.Как исследователь теории ∞-категорий интересно размышлять о том, как можно упростить этот предмет. В данном случае есть лингвистический трюк — усиленная версия категориального «the» — который может сделать ∞-категории столь же легкими для понимания студентами конца 21-го века, как обычные категории сегодня. Ключевой аксиомой в обычной категории является существование уникального составного преобразования g ∘ f: X → Z для каждой составной пары преобразований f: X → Y и g: Y → Z, выбирается из всех элементов множества преобразований от X до Z. Напротив, в ∞-категории есть пространство стрелок, ведущих от X к Z, , которое в фундаментальном ∞-группоиде можно понимать как своего рода «пространство путей». Правильным аналогом уникальности композитов в обычной категории является утверждение, что в ∞-категории пространство композитов является «сжимаемым», что означает, что каждая из его точек может быть непрерывно свернута посредством обратного Большого взрыва в одну точку. происхождения.

Обратите внимание, что сжимаемость не означает, что существует уникальная композиция: действительно, как мы видели в фундаментальном ∞-группоиде, может быть большое количество составных путей.Но сжимаемость гарантирует, что любые два составных пути гомотопны, любые две гомотопии, связывающие два составных пути, связаны более высокой гомотопией и так далее.

Эта идея уникальности как типа условия сжимаемости является центральной в новой системе основ математики, предложенной Владимиром Воеводским и другими. Математики всего мира совместно разрабатывают новые компьютерные «помощники по доказательству», которые могут построчно проверять формальное доказательство математического результата.У этих помощников доказательства есть механизм, который имитирует обычную математическую практику передачи информации об одном предмете другому, который понимается как одно и то же посредством явного изоморфизма или гомотопической эквивалентности. В этом случае механизм позволяет пользователю транспортировать доказательство, включающее одну точку в пространстве, по пути, который соединяет ее с любой другой точкой, давая строгую формулировку топологического понятия тождества.

В эссе 1974 года математик Майкл Атия писал: «На самом деле цель теории в значительной степени состоит в систематической организации прошлого опыта таким образом, чтобы следующее поколение, наши студенты, их ученики и так далее могли максимально безболезненно впитывать важные аспекты, и это единственный способ, с помощью которого вы можете кумулятивно наращивать любой вид научной деятельности, не заходя в конечном итоге в тупик.Теория категорий, вероятно, играет эту роль в современной математике: если математика — это наука аналогий, изучение закономерностей, то теория категорий — это изучение закономерностей математического мышления — «математика математики», как сказала Евгения Ченг из Школы математики. Институт искусств Чикаго поставил это.

Причина того, что сегодня мы можем охватить так много вопросов в бакалавриате, заключается в том, что наше понимание различных математических концепций было упрощено за счет абстракции, которую можно рассматривать как процесс отступления от конкретной рассматриваемой проблемы и принятия более широкого решения. взгляд на математику.Многие мелкие детали невидимы с этого уровня — числовые приближения, например, или вообще что-либо, имеющее отношение к числам, — но примечательно то, что теоремы из алгебры, теории множеств, топологии и алгебраической геометрии иногда верны для та же основная причина, и когда это так, эти доказательства выражаются на языке теории категорий.

Что нас ждет в будущем? В некоторых областях математики формируется консенсус в том, что естественная среда обитания математических объектов 21-го века является ∞-категориями так же, как математические объекты 20-го века обитают в обычных категориях.Есть надежда, что головокружительная башня стрел в каждом измерении, необходимая для глубокой работы в ∞-категории, в какой-то момент отойдет на задний план коллективного математического подсознания, и каждое сжимаемое пространство выбора рухнет до уникальной точки. . И можно только задаться вопросом: если такой большой прогресс был достигнут в течение 20-го века, где будет математика в конце 21-го?

Завораживающая математика, стоящая за «Найди это!», Любимая семейная карточная игра | Наука

Если вы являетесь родителем детей младше 10 лет, велика вероятность, что вы знакомы с игрой под названием «Найди это!»

Spot It !, в своей характерной круглой банке, чрезвычайно популярен — он входит в десятку самых продаваемых карточных игр Amazon, наряду с такими классическими играми, как Uno и Taboo. С момента ее первого выпуска в 2009 году было продано более 12 миллионов копий игры, причем ежегодно только в Соединенных Штатах продается более 500 000 копий.Он часто используется в классах, фигурирует в списках образовательных игр, способствующих когнитивному развитию, и логопеды и эрготерапевты в США одобряют его. Это такая игра, которая заставляет вас чувствовать, что вы делаете что-то хорошее для своего мозга, когда играете в нее.

Основная структура игры такова: колода состоит из 55 карт, по восемь символов на каждой карте, взятых из банка, состоящего всего из 57 символов. Если вы выберете любые две карты наугад, всегда будет совпадать один символ.В игре предусмотрено несколько различных способов игры, но все они зависят от скорости, с которой вы заметите совпадение — два сырных блока, чернильные пятна, дельфинов, снеговиков и так далее.

Но как… как !? — возможно ли, что каждая отдельная карта соответствует другой карте только одним способом?

Это не волшебство. Это математика.

**********

История Spot It !, первой и до сих пор публикуемой как Dobble в Европе, начинается в 1850 году в Великобритании. В то время Британия переживала своего рода математический ренессанс.После периода относительной стагнации в грузинскую эпоху правление королевы Виктории, казалось, привело к расцвету математических рок-звезд, таких как Чарльз Бэббидж, Джордж Буль, Джон Венн и Артур Кейли. Это была эпоха абстрактной математической философии и исследований, установления математических принципов, лежащих в основе современных цифровых технологий — без этих ребят современные вычисления не могли бы существовать.

Преподобный Томас Пенингтон Киркман не был математической рок-звездой, не совсем так.Англиканский священник со степенью бакалавра Тринити-колледжа в Дублине, Киркман тихо служил в небольшом приходе в Ланкашире, на севере Англии, в течение 52 лет. Но он был любопытен в интеллектуальном плане: в некрологе его сына после его смерти в 1895 году говорилось, что главными интересами Киркмана были «изучение чистой математики, высшая критика Ветхого Завета и вопросы основных принципов». О последних двух сохранилось несколько записей. Однако из первых Киркман оставил после себя каталог из примерно 60 основных статей по всему, от теории групп до многогранников, хотя в основном опубликованных в малоизвестных журналах, заваленных сложной, а иногда и изобретательной математической терминологией, и малоизвестных — недооцененное наследие. и как минимум одна очень интересная проблема.

В 1850 году Киркман отправил головоломку в «Дневник дамы и джентльмена», ежегодный журнал по развлекательной математике, который собирал материалы как от любителей, так и от профессиональных математиков. Вопрос гласил: «Пятнадцать девушек в школе выходят по три в ряд в течение семи дней подряд: необходимо устраивать их ежедневно, так что никакие двое не могут ходить дважды в ряд». Проблема школьницы Киркмана, как она стала известна, была вопросом комбинаторики, раздела логики, который имеет дело с комбинациями объектов в соответствии с заданными критериями.Вы, вероятно, более знакомы с комбинаторикой, чем вы думаете — это математический принцип, который формирует сетки судоку. (И если вы проходили LSATS, вы определенно знакомы с ним — «Аналитическое мышление» — это все о комбинаторике.)

Киркман фактически решил задачу за три года до этого, когда он определил, сколько школьниц ему понадобится, чтобы решить головоломку. Это доказательство было ответом на вопрос, заданный в том же журнале в 1844 году: «Определите количество комбинаций, которые могут быть составлены из n символов, p символов в каждой; с этим ограничением никакая комбинация q символов, которые могут появиться в одном из них, не должна повторяться в любом другом.Киркман экстраполировал это на вопрос о неповторяющихся парах в тройках, задав для определенного количества элементов вопрос, сколько уникальных троек у вас может быть до того, как вы начнете повторять пары? В своей книге 2006 года о проблеме Киркмана « Пятнадцать школьниц » Дик Тахта приводит несколько примеров того, как эта проблема может работать: «У вас есть семь друзей, которых вы хотите пригласить на обед по трое. Сколько раз ты сможешь сделать это, прежде чем двое из них соберутся вместе во второй раз? » В этом случае n = 7, p = 3 и q = 2.

Примечательно, что доказательство Киркмана было его первой математической работой, представленной в декабре 1846 года, когда ему было уже 40 лет. Кроме того, это оказалось решением проблемы, поставленной известным швейцарским геометром Якобом Штайнером — его «тройной системой», серией уникальных подмножеств из трех — примерно за шесть лет до того, как Штайнер предложил ее. Но общее решение — принцип, по которому он работает, и показывающий, что он работает постоянно, — не был бы найден до 1968 года, когда математики Диджен Рэй-Чаудхури и его тогдашний студент Ричард Уилсон из Университета штата Огайо, сотрудничал над доказательством теоремы.

«Насколько нам известно, Киркман двигался только из любопытства. Но, как это часто бывает в математике, его идеи нашли очень широкое применение. В статистике сэр Рональд Фишер использовал их для создания экспериментальных планов, которые оптимальным образом сравнивают любую пару предложенных методов лечения. Они также возникают в теории кодов с исправлением ошибок, используемых для связи между компьютерами, спутниками и так далее », — пишет в электронном письме Питер Кэмерон, математик из Университета Сент-Эндрюс.«Еще одно приложение — карточные игры».

Но еще нет. Общее решение Рэя-Чаудхури и Уилсона вызвало волну интереса к проблеме школьницы Киркмана, не в последнюю очередь из-за ее применения в растущей области кодирования и вычислений. Среди тех, кого он догнал, был молодой французский энтузиаст математики по имени Жак Коттеро. Это был 1976 год, и Коттеро был вдохновлен относительно новыми теориями кодов с исправлением ошибок и принципами так называемых «неполных сбалансированных блоков», в которых конечный набор элементов организован в подмножества, удовлетворяющие определенным параметрам «баланса». Концепция часто используется при разработке экспериментов.

Коттеро хотел придумать модель, чтобы головоломка работала в любых комбинациях, и он хотел, чтобы это была развлечение . Вскоре он понял, что в основе решения не обязательно должны лежать числа или школьницы. Для своего переосмысления проблемы школьницы Коттеро разработал «игру с насекомыми»: набор из 31 карточки с шестью изображениями насекомых, причем каждый из них имеет ровно одно изображение. «Игра в насекомых» — ограниченная версия игры Spot It! стал, однако, так и не прошел мимо гостиной Коттеро и провел следующие 30 лет, собирая пыль.

Коттеро не был ни профессиональным математиком, ни разработчиком игр; По словам соавтора Доббла Дениса Бланшо, он был просто любителем, который «страстно увлекался этой конкретной областью». Бланшо также не математик — по профессии он журналист, — но ему нравится создавать и разрабатывать игры. В 2008 году Бланшо наткнулся на несколько карточек из набора «Игра с насекомыми» — Коттеро — отец невестки Бланшо — и увидел в них семена увлекательной игры.

«Ему пришла в голову идея перевести это на карты.Я превратил это в настоящую игру, скорость и веселье », — говорит Бланшо через мессенджер Facebook. Они предполагали, что игра, которую они назвали Dobble, будет для всех, а не только для детей.

Бланшо работал над иллюстрациями для прототипа, смесью животных, знаков и объектов, некоторые из которых все еще являются частью игры, и после многих тестов они придумали несколько подходов к игровому процессу. Игра Dobble, названная так в честь слова «двойной», была запущена во Франции в 2009 году издательством Play Factory, а затем в Германии в 2010 году.В том же году Бланшо и Коттеро продали игру компании Play Factory. На вставке, включенной в упаковку игры с 2016 года, Бланшо и Коттеро указаны как создатели «с помощью команды Play Factory», хотя они больше не участвуют в игре.

Dobble был выпущен в Великобритании и Северной Америке под названием Spot It !, в 2011 году и имел довольно быстрый успех. В 2015 году Asmodee приобрела всемирные права на игру у Play Factory и американского дистрибьютора Blue Orange.Теперь игра опубликована с более чем 100 различными темами, включая Национальную хоккейную лигу, «бедра» (усы и велосипеды) и Pixar Finding Dory . Они создали версии с испанским и французским словарем, алфавитом и цифрами, а также карточки с изображением принцесс Диснея и Star Wars . Первоначальные издатели игры даже однажды создали версию для французской полиции, используя символы проезжей части и бутылку вина, говорит Джон Брутон, покупатель Asmodee Europe: «Они сказали, что это было напоминанием не пить и не водить машину.”

Бен Хогг, менеджер по маркетингу Asmodee Europe, объяснил успех игры — самой популярной карточной игры в Великобритании в этом году — простотой игры. «Люди могут научиться играть практически сразу. Они могут играть на ней необычайно хорошо, но не могут справиться с ней », — сказал он. «Это одна из тех игр, которые можно показать людям, и они сразу же поймут, что в ней интересно».

**********

Но большинство людей, которые играют, не совсем понимают , почему работает.Найди это! может быть легко играть, но математика, лежащая в основе этого, удивительно сложна.

Проще говоря, игра основана на принципе Евклида, согласно которому две линии на бесконечной двумерной плоскости будут иметь только одну общую точку. В XVIII и XIX веках евклидова геометрия послужила основой современной алгебры посредством Рене Декарта, присвоившего этим точкам координаты, так что точки больше не были физическими местоположениями; они могли стать числами, а позже — системами чисел. В рамках задачи Киркмана о школьнице, объясняет Кэмерон, «думайте о девушках как о« точках », а группы из трех девочек — как о« линиях ».Аксиома Евклида выполняется. … Более сложная часть проблемы состоит в том, чтобы разделить 35 групп на 7 групп по 5 так, чтобы каждая девочка попала в каждую группу один раз. В терминах Евклида это похоже на добавление отношения параллелизма к установке ».

Проблема Киркмана и, следовательно, ее решение «Найди это!», Живет в области конечной геометрии. «Самая простая из этих геометрий имеет q2 точки, по q точек на каждой линии, где q — количество элементов в выбранной системе счисления или поле.Маленький вариант дает q ² + q + 1 балл, с q + 1 баллом на каждой строке », — пишет Кэмерон.

Так что это значит для Spot It? «Давайте возьмем одну из этих геометрий и попробуем превратить ее в карточную игру. Каждая карта будет считаться точкой и будет содержать ряд символов, представляющих линии, содержащие эту точку. Учитывая любые две карты, у них будет только один общий символ, соответствующий уникальной линии, проходящей через две точки », — сказал Кэмерон.

Если q в формуле равно семи, мы можем определить, что имеется 57 точек (7 ² + 7 + 1) с восемью точками (7 + 1) на каждой строке.«Таким образом, мы можем сделать колоду из 57 карт, по восемь символов на каждой карте, и любые две карты, имеющие ровно один общий символ. Вот, собственно, и игра! » Кэмерон говорит.

Однако примечательно, что Spot It! не содержит 57 карт, в нем всего 55. Согласно одной из теорий о недостающих двух картах, производители использовали стандартное оборудование для изготовления карт, а стандартные колоды карт содержат 55 карт — 52 карты игральных карт, два джокера и рекламу. «Нет проблем», — написала Кэмерон. «Сделайте 57 карт и проиграйте две из них; в результате 55 все еще будут иметь свойство, что любые два разделяют только один символ.В самом деле, независимо от того, сколько карт вы проиграете, это свойство все равно останется в силе ».

**********

Конечно, вам не нужно понимать, как это работает, чтобы играть в игру. Но попытка разобраться в этом может стать воротами к пониманию или новому осмыслению математики. До того, как Джон Брутон стал покупателем Асмоди, он работал учителем математики в средней школе в Хэмпшире, Англия. Он использовал Dobble в своих классах, сначала заставляя детей играть в игру, а затем заставляя их создавать свои собственные версии.

«В ней практически каждый мог добиться успеха на начальном уровне… Эта идея была отправной точкой для изучения комбинаторики и матриц, это была приманка», — говорит он. «Большинство детей могли бы разработать один или два набора, проблема заключалась бы в том, чтобы сесть и спросить, как я могу на самом деле это сделать?»

Трудно придумать, как заставить это работать, особенно после подходов из двух или трех. Конечно, вы можете купить игру в этот праздничный сезон — и у вас будет много довольно забавных тематических вариантов, — но что, если вы сделаете свою собственную?

20 увлекательных математических игр для детей, стремительно развивающих новые математические навыки на ходу

Написано Маркусом Гуидо

Категория

• Игровое обучение
• Стратегии обучения

6.Математические факты Бинго

9. Однометровый рывок

10. Спина к спине

13. Саймон говорит: геометрия

• Больше 10
• Четное число
• Кратное трех

• Туз — 1
• Два до 10 — Номинал
• Валет — 11
• Дама — 12
• Король — 13

Инфографика

Оценки в США отвратительны из-за того, как в школах преподают уроки

Американские школьники испытывают трудности в математике.

По последним результатам международного экзамена среди подростков США заняли девятое место по чтению и 31 место по математической грамотности из 79 стран и экономик.В Америке доля студентов-математиков с лучшими успеваемостями ниже среднего, и в течение двух десятилетий их оценки практически не меняются.

Одна из вероятных причин: в средних школах США математика преподается иначе, чем в других странах.

Классы здесь часто сосредоточены на формулах и процедурах, а не на обучении студентов творческому мышлению при решении сложных задач, включающих все виды математики, говорят эксперты. Из-за этого студентам становится труднее соревноваться в глобальном масштабе, будь то на международных экзаменах или в колледжах и по специальностям, которые ценят сложное мышление и науку о данных.

Растет хор математиков, которые рекомендуют способы перенести американскую математическую программу в 21-й век, чтобы сделать ее более отражающей то, что изучают дети из более успешных стран. Некоторые школы экспериментируют, пытаясь сделать математику более увлекательной, практичной и инклюзивной.

«Есть много исследований, которые показывают, что когда вы преподаете математику по-другому, дети добиваются большего успеха, в том числе по результатам тестов», — сказал Джо Боулер, профессор математики Стэнфордского университета, который стоит за серьезным толчком к изменению учебной программы по математике в Америке. .

Стандартные тесты: Сколько экзаменов должны сдать дети?

Вот несколько идей по его улучшению:

Прекратите преподавать «бутерброд с геометрией»

В большинстве американских средних школ преподают алгебру I в девятом классе, геометрию в 10 классе и алгебру II в 11 классе — то, что Болер называет «бутербродом с геометрией» . »

В других странах три года подряд преподают комплексную математику — I, II и III — в рамках которой вместе преподаются концепции алгебры, геометрии, вероятности, статистики и науки о данных, что позволяет студентам глубоко погрузиться в сложные проблемы.

Географическое неравенство: штатов с лучшими (и худшими) школами

В странах с более высокими показателями эффективности статистика или наука о данных — компьютерный анализ данных, часто в сочетании с кодированием — составляет большую часть учебной программы по математике. — сказал Булер. По ее словам, большинство американских классов сосредоточено на обучении механическим процедурам.

В следующем году Болер и группа исследователей планируют рекомендовать Калифорнии постепенно отказаться от курса алгебры и геометрии в пользу интегрированной математики для всех учащихся — что она предложила руководителям образования по всему штату.

Некоторые штаты, например Юта, перешли на такой переход. Академические стандарты Common Core, версия которых принята в большинстве штатов, гласят, что математику в старших классах можно преподавать в любом формате.

Работает ли Common Core? Несмотря на новые стандарты и большее количество тестов, результаты по чтению и математике не росли за десять лет.

Этот шаг требует дополнительного времени и ресурсов для обучения учителей. В Грузии с 2008 года в старших классах школ было введено обязательное преподавание интегрированной математики. После противодействия учителей и родителей в 2016 году школам была предоставлена ​​возможность вернуться к старой последовательности.В одном большом опросе учителя Джорджии заявили, что не хотят специализироваться более чем в одной математической области.

Подкаст Freakonomics в октябре включил выпуск об особенностях американской математической программы. Организованный экономистом Чикагского университета Стивом Левиттом, он выдвинул на первый план работу Боулера и получил значительную обратную связь, учитывая специфику темы, сказал Левитт USA TODAY.

Левитт занимается движением, чтобы перевернуть традиционное обучение математике. Он сказал, что средние школы могут рассмотреть возможность сокращения наиболее полезных элементов геометрии и второго года алгебры до одногодичного курса.Тогда у студентов будет больше места в расписании для более подходящих математических классов.

«Когда вы разговариваете с людьми из сферы математического образования, они называют это безумно радикальным», — сказал Левитт. «Я думаю, что большинство родителей не сочли бы радикальным преподавать только лучшие из двух предметов, которые не нравятся большинству людей».

Освободите место для науки о данных

«Девяносто процентов данных, которыми мы располагаем сейчас в мире, было создано за последние два года», — сказал Болер.«Мы находимся в той точке этого мира, где все меняется, и нам нужно помочь студентам ориентироваться в этом новом мире».

Другие страны быстрее отреагируют на эту идею. Студенты из Эстонии заняли первое место среди европейских стран по математике, чтению и естествознанию в Программе международной оценки учащихся 2018 года. Многие факторы могли помочь: страна предлагает высококачественное дошкольное образование для всех детей, размеры классов небольшие, а также мало тестов с высокими ставками, что оставляет больше времени для обучения.

В отличие от других стран, Эстония преподает компьютерное программирование на всех уровнях обучения — стратегия, начатая в старших классах в конце 90-х годов и распространенная на начальные школы примерно в 2012 году. Страна экспериментирует с внедрением новой компьютерной учебной программы по математике.

Компьютерная математика: Как это выглядит и почему это важно

В США около 3300 студентов в этом году в 15 школьных округах Южной Калифорнии проходят новый курс «Введение в науку о данных», который включает данные и статистику. сбор и кодирование реальных данных для анализа данных.Курс был разработан Калифорнийским университетом в Лос-Анджелесе и Объединенным школьным округом Лос-Анджелеса, и он считается статистическим зачетом.

В классе есть составленная по сценарию учебная программа с увлекательными упражнениями, например, когда учащиеся записывают, сколько времени они тратят на уход за собой, а затем сравнивают это с национальными данными, собранными для американского исследования использования времени.

Учителей обучают вести класс, так как многие из них раньше не знакомы с программированием, — сказала Суйен Мачадо, директор проекта Introduction to Data Science.

Ученики, прошедшие новый курс, показали значительный рост своих статистических знаний за год, как показывают исследования. Студенты сказали, что они считают обучение программированию ценным навыком.

«Многие студенты сообщают, что они считают, что содержание более применимо к реальной жизни», — сказал Мачадо. «Одна из самых сложных задач курса — это изучение программирования. Говорят, это сложно, но они хотят это сделать ».

Прекратите так сильно разбивать учеников и не торопитесь с учебной программой

На протяжении многих лет некоторые школы пытались повысить успеваемость по математике, опустив алгебру до восьмого класса.Учащиеся с высоким уровнем подготовки могут адаптироваться и иметь возможность посещать более продвинутые классы средней школы. Ускорение учебной программы может увеличить разрыв в успеваемости между учащимися с более низким уровнем успеваемости, включая экономически неблагополучных и расовых меньшинств.

Практика отражает давнюю особенность американского математического образования: уже в средней школе ученики часто разбиваются на «следы», что предопределяет, кто будет посещать продвинутые классы в старшей школе. В продвинутых классах часто бывают белые или азиатские ученики, посещающие пригородные школы, в то время как черные и латиноамериканские ученики по-прежнему недопредставлены, как показывают исследования.

Около шести лет назад руководители школ Сан-Франциско пытались решить эту проблему. В восьмом классе они перестали преподавать алгебру I. По словам Лиззи Халл Барнс, супервайзера по математике Объединенного школьного округа Сан-Франциско, учащиеся проходят одинаковую трехлетнюю последовательность курсов математики в средней школе, и все обучаются в классах с разной степенью способностей.

В старших классах все ученики изучают алгебру в девятом классе и геометрию в 10 классе. После этого студенты могут выбрать свой путь: одни могут выбрать алгебру II, другие могут выбрать курс, сочетающий алгебру II и предварительное исчисление.Некоторые могут ускориться до статистики AP.

До изменений 40% выпускников вузов Сан-Франциско должны были повторять алгебру I в своей академической карьере. Для Класса 2019 года, первой когорты студентов, которые следовали новой последовательности, только 8% студентов должны были повторить курс.

Эти изменения привели к значительному увеличению числа учащихся из неблагополучных семей, поступающих в старшие и младшие классы математики в старшие и младшие классы, сказал Барнс. Повышение успеваемости чернокожих и латиноамериканских студентов не повредило успеваемости белых и азиатских студентов, добившихся высоких результатов.

«Это был сейсмический сдвиг», — сказал Барнс.

В Нью-Йорке поднялся шум по поводу исключения одаренных треков: Эта школа все равно этим занимается

Измените то, как учителя начальных классов думают о математике

Улучшение математических способностей старшеклассников в США связано с сообщениями, которые слышат учащиеся почему математика важна и кто хорошо разбирается в ней, когда они моложе.

Эти сообщения часто исходят от учителей начальной школы, многие из которых сами не любили математику.

«Математическая фобия реальна. Математическая тревога реальна», — сказала ДеАнн Хьюнкер, профессор математического образования в Университете Висконсин-Милуоки, которая обучает будущих учителей начальной и средней школы.

Новое исследование показывает, что когда учителя улучшают свое отношение к математике, это может помочь поднять результаты тестов учащихся. В Стэнфорде Болер и ее команда разработали онлайн-курс для учителей, в котором представлены исследования, показывающие, что любой может выучить математику с достаточной практикой, интеллект не фиксирован, а математика связана со всеми видами повседневной деятельности.

Они наняли учителей пятого класса из округа в центральной Калифорнии, чтобы они прослушали курс и обсудили его. В течение года ученики участвовавших учителей показали значительно более высокие баллы по математике по сравнению с предыдущими годами. По словам Болера, скачки были особенно значительными для девочек и студентов из малообеспеченных семей.

«Они думали, что им нужно обучать процедурам, а затем поняли, что могут обучать этим открытым, визуальным и творческим способом», — сказал Боулер. «Многие исследования показывают, что для того, чтобы изменения произошли, требуется много времени.В этом все было быстро ».

Сделайте математику средней школы отражающей реальную жизнь

Помимо науки о данных, некоторые школьные курсы разрабатывают курсы, которые включают больше реальной математики и такие темы, как финансовая алгебра и математическое моделирование.

Такой подход привел к успеху другие страны. Подростки в Нидерландах получают одни из самых высоких результатов по математике в мире в тесте PISA. Во многом это потому, что на экзамене отдается приоритет применению математических понятий в реальных жизненных ситуациях, а голландцы учат математике, основанной на реальности и актуальной для общества.

Некоторые давние голландские эксперты по математике участвовали в разработке PISA, которая началась в 2000 году и проводится каждые три года среди 15-летних учащихся из развитых стран и стран.

В средней школе Свитуотер в Чула-Виста, Калифорния, учитель математики Мелоди Моррис ведет новый курс для 12-го класса, который исследует такие темы, как игры для двух игроков, теория графов, последовательности, ряды и криптография. Курс под названием Discrete Math был разработан в сотрудничестве с Государственным университетом Сан-Диего.

В одном упражнении Моррис учит студентов играть в игру в стиле «захват флага», показанную в телешоу «Survivor». Они узнают, что используя математику, они могут выигрывать каждый раз.

«Выживший: Победители на войне»: Предыдущие чемпионы соревнуются в 40 сезоне

«Их типичный ответ:« Это математика? »- сказал Моррис. «Они думают, что это значит играть в игры и развлекаться. Но на самом деле они учатся разбивать большие проблемы на мелкие, а также выдвигать гипотезы и проверять их.”

Учащиеся Sweetwater все еще проходят традиционный« бутерброд с геометрией »с девятого по одиннадцатый класс. Моррис сказала, что многие из тех, кто выбирает ее класс в старшем классе, обнаруживают, что больше увлечены материалом. По словам Морриса, они разрабатывают инструментарий, который позволит им подойти к любой жизненной проблеме.

«Многое из того, что мы создаем, — это привычки», — сказала она.

Кто лучше всех разбирается в технологиях и инжиниринге? Девочки превосходят мальчиков на экзаменах, «независимо от того, идут они в класс или нет»

Охват образования в США СЕГОДНЯ стал возможен частично благодаря гранту Фонда Билла и Мелинды Гейтс.Фонд Гейтса не предоставляет редакционных материалов.

Веселые детские онлайн-математические игры

«Шеппард предлагает все, от начальной математики до предварительной алгебры. Уроки включают интерактивные упражнения для отработки концепций. Учащиеся могут стрелять фруктами, лопать воздушные шары и даже играть в математического человечка (математическая версия pacman!). Дроби, числовые значения, деньги и основные операции — вот лишь некоторые из областей, которые здесь рассматриваются. Проверьте это на https://www.sheppardsoftware.com/math.htm. «
— Шеннон Джейкман, sjakeman.blogspot.com

«Математические онлайн-игры, подобные тем, которые вы найдете бесплатно в Sheppard Software, предоставляют детям ценную возможность многому научиться, пока они развлекаются. Игры в Sheppard Software хорошо написаны, интерактивны и очень интересны. весело играть.

Родителям может быть очень сложно найти продуктивные и стоящие занятия для детей в Интернете; однако увлекательные математические онлайн-игры предлагают прекрасную альтернативу.

Этот бесплатный раздел программного обеспечения Sheppard был написан для детей. Практически все материалы, которые вы найдете на сайте, абсолютно бесплатны для детей. Эти увлекательные онлайн-игры по математике охватывают все основы математики, включая раннюю математику, базовые и смешанные операции, дроби, предварительную алгебру, доллары и центы и разметку. В то время как учителя часто используют рабочие листы для закрепления математических концепций, изученных в классе, такого рода игры на самом деле оказывают такое же образовательное воздействие на ребенка, а формат примеров, как увлекательная игра, заставляет ребенка быть вовлеченным, заинтересованным и возвращающимся снова и снова. .

На главной странице родители или дети найдут простое и удобное для навигации меню, в котором представлены различные уровни математических игр и различные математические концепции, которые доступны. Детям от дошкольного до 8-го класса найдутся забавные онлайн-игры по математике, в которых учатся важные математические навыки, соответствующие их возрасту.

Sheppard Software предлагает парочку забавных игр для самых маленьких школьников-математиков. В этой игре, названной Bugabaloo Addition, детям слева и справа показывают несколько «ботинок от насекомых».Игра просит ребенка сложить две группы обуви вместе, а затем выбрать жучок с напечатанным на нем правильным номером. Эта игра учит сложению с помощью графического дисплея, который позволяет ребенку видеть и считать обувь. С числами, расположенными прямо под ними, дети легко связывают визуальные подсказки и процесс сложения.

Для детей постарше существует ряд очень популярных «всплывающих» математических игр в стиле аркад. В этих играх ребенку предлагается математическая задача, и он должен найти существо, у которого есть правильный ответ, и ударить его по голове молотком.Комичное выражение существа и звуковые эффекты делают эту игру настолько увлекательной, что дети забудут, что изучают математику! «
— Написано Райаном Дьюбом 30 марта 2010 г. в бесплатной образовательной программе — Обзоры лучших обучающих игр, программного обеспечения и веб-сайтов — http://www.