14.04.2021

Матрица равена: Цветные прогрессивные матрицы Равена

Содержание

Цветные прогрессивные матрицы Равена

Возрастная психология, детская психология, воспитание детей
Toggle it Child-psy
  • Уроки понимания
    • Когда ваш ребенок сводит вас с ума
      • Когда мы чувствуем собственную беспомощность
      • Хрустальный шарик детства
      • Что знают специалисты о вашем ребенке
      • Когда родительская любовь заходит слишком далеко
      • Кое-кто не хочет, чтобы его обнимали
      • Потребность в приватности
      • Волшебное слово: «Жди!»
      • Как много можно рассказать ребенку
      • Обделены ли заботой и вниманием дети, матери которых работают?
      • Усталость, граничащая с безумием
      • Когда ребенок врет
      • Мама, я боюсь!
      • Если ваш ребенок грозится убежать
      • Когда ребенок все время ноет
      • Когда ребенок невоспитан
      • Дети, подверженные несчастным случаям
      • Правда и выдумки о привычках
      • Не кусайте руку, которая вам протянута
      • Почему дети не спят?
    • Общаться с ребенком — как?
      • Урок первый: Безусловное принятие
      • Урок второй. Помощь родителей. Осторожно!
      • Урок третий. «Давай вместе!»
      • Урок четвертый. «А если не хочет?»
      • Урок пятый. Как слушать ребенка.
      • Урок шестой. Двенадцать против одного или что нам мешает слушать ребенка.
      • Урок седьмой. Чувства родителей.
      • Урок восьмой. Как разрешать конфликты.
      • Урок девятый. А как насчет дисциплины?
      • Урок десятый. «Кувшин» наших эмоций.
      • Можно ли что-то поправить? Как?
    • Капризничает? Значит, развивается!
      • Как новорожденный ощущает свой мир
      • 5-я неделя: мир меняющихся ощущений
      • 8 недель : мир явлений
      • 12-я неделя: мир плавных переходов
      • 19-я неделя: мир событий
      • 26-я неделя: мир взаимосвязей
      • 37-я неделя: мир категорий
      • 46-я неделя: мир последовательностей
      • 55-я неделя: мир задач
      • 64-я неделя, или почти 15 месяцев
      • 75-я неделя, или 17 с небольшим месяцев
    • Продолжаем общаться с ребенком. Так?
      • Ребенок растет
      • Живем вместе
      • Наше общение
    • Важные правила общения с детьми
    • Жила была девочка, похожая на тебя. ..
      Дорис Бретт
  • Развитие ребенка
    • Развитие речи
      • Развитие речи ребенка от рождения до 6 месяцев
      • Развитие речи ребенка от 6 до 12 месяцев
      • Развитие речи ребенка от 1 года до 3 лет
      • Развитие речи ребенка от 4 до 6 лет
      • Развитие речи ребенка от 6 до 7 лет
      • Если ребенок ругается матом
      • Как развивать речь ребенка. От рождения до трех лет.
    • Нормы развития
      • Развитие ребенка от 6 до 9 месяцев.
      • Развитие ребенка от 0 до 3 месяцев
      • Развитие ребенка от 3 до 6 месяцев
      • Развитие ребенка от 9 до 12 месяцев
      • Кризис первого года.
      • Как прибавить в росте и вырасти с своих глазах.
    • Как научить ребенка …
      • Как научить ребенка пользоваться туалетом
      • Как научить детей контролировать гнев
      • Как научить ребенка спокойно ложиться спать
      • Как научить ребенка заботиться о зубах
      • Как научить ребенка побороть страх
      • Как научить ребенка не пачкать пеленки
    • Первые шаги
      • Когда ребенок начинает ходить на четвереньках
      • Когда ребенок начинает активно двигаться
      • Когда ребенок делает первые шаги
    • Календарь развития ребенка
      • Календарь развития ребёнка от рождения и до года
      • Календарь развития ребёнка от года до 6 лет
      • Физическое развитие детей до года
      • Таблица изменения роста и веса ребенка от 0 до года.
      • Таблица изменения роста и веса ребенка от 1 года до 3 лет
      • Таблица изменения роста и веса ребенка от 3 до 7 лет
      • Таблица изменения роста и веса ребенка от 7 до 17 лет
      • Норма роста и веса для подростков
      • Гормоны роста человека (СТГ и ИФР)
      • Тяжелая кость : сколько на самом деле весил скелет человека
      • Ожирение у детей
    • Психологическая зрелость
    • Гимнастика для малышей
    • Развитие внимания у детей дошкольного возраста
    • Выявление способностей у детей и их развитие
  • Азбука для родителей
    • Дети нового поколения
      • Дети Индиго. Особенности развития.
      • Невероятные левши: понятия леворукость и левшество
      • Одаренные дети: особенности психического развития
      • Творчество и одаренность
    • Половое воспитание
      • Нагота
      • Представления о поле
      • Половые игры
      • Половая уравновешенность
      • Половой опыт
      • Мастурбация
      • Стереотипы мужественности — женственности у подростков
      • О детской сексуальности и формирование полоролевой ориентации
      • Что, как и когда говорить ребенку о сексе.
      • Сексуальное воспитание: коротко о том, что должен знать ребенок.
      • Об извращенцах, насильниках, преступниках и др. опасностях.
    • Дети и эмоции.
      • Как научить ребенка общаться
      • Покончим с истериками
      • Как победить буку?
      • Миф о тихонях
      • Как преодолеть застенчивость?
      • Почему ребенку трудно со сверстниками
      • Детские чувства
    • Кормление и еда.
      • Искусственное вскармливание
      • Кормление по просьбе ребенка
      • Кормление насильно
      • Расставание с рожком
      • Тошнота и рвота
      • Еда
      • В постель с рожком
    • Семья
      • Первый ребенок
      • Единственный ребенок
      • Второй ребенок
      • Младший и средний ребенок
      • Почему в семье разные дети?
      • Младший ребенок
      • Мать
      • Отец
      • Жизненный цикл семьи: Основные кризисы
      • Приемный ребенок
      • Распад семьи. Развод
      • Соперничество братьев
      • Родители и дети
      • Родительская любовь
      • Смерть близкого человека
      • Средний ребенок
      • Старший ребенок
      • Близнецы
      • Бабушка и дедушка
      • Отчим
      • Мачеха
      • Ребенок без отца
      • Дети развода: потеря любимого
      • Близнецы в детском саду
      • Близнецы идут в школу
      • Близнецы в школе: проблемы обучения
    • Дед Мороз
    • О чем плачет ребенок?
    • Пеленать или не пеленать ?
    • Детский сад: за и против
    • Детские капризы
    • Игрушки
    • Избалованные дети
    • Комплекс вины
    • Контроль за мочевым пузырем
    • «паршивая овца» в семье
    • Отвергнутый ребенок
    • Отпуск
    • Манежик
    • Лечебные игры
    • Левша
    • Летний лагерь
    • Наказание
    • Когда мы говорим «Нельзя!»
    • Наследсвенность
    • Непослушание
    • Неуверенность в себе
    • Музыка
    • Игра.
    • Пассивное сопротивление
    • Плохие сны
    • Подарки
    • Привилегии

Тест Равена — прогрессивные матрицы Равена

Название: Тест Равена (прогрессивные матрицы Равена)
Область применения: оценка невербального интелекта
Кол-во вопросов: 60
Разработчик программы: Славянский государственный педагогический университет
В архиве: программа “Тест Равена” (прогрессивные матрицы Равена) в формате exe. + методика в формате doc.
Размер: 4,47 Мб

Тест Равена – является невербальным и предназначен для измерения уровня интеллектуального развития. Предложен Л. Пенроузом и Дж. Равеном в 1936 г.

Наиболее известны два основных варианта: черно-белый и цветной. Цветной вариант предназначен для обследования детей от 6 до 9 лет. Возможно их применение для детей и более старшего возраста с аномальным развитием. Иногда рекомендуется для проведения реабилитационных исследований и для лиц старше 65 лет. Цветной вариант интеллектуального теста Равена состоит из трех серий: А, АВ, В по 12 матриц в каждой серии.

Процедура проведения методики “Тест Равена”

Тест Равена строго регламентирован во времени, а именно: 20 мин. Для того, чтобы соблюсти время, необходимо строго следить за тем, чтобы до общей команды: “Приступить к выполнению теста” – никто не открывал таблицы и не подсматривал. По истечении 20 мин подается команда, например: “Всем закрыть таблицы”. О предназначении данного теста можно сказать следующее: “Все наши исследования проводятся исключительно в научных целях, поэтому от вас требуются добросовестность, глубокая обдуманность, искренность и точность в ответах. Данный тест предназначен для уточнения логичности вашего мышления”. После этого взять таблицу и открыть для показа всем 1-ю страницу и дать инструкцию.Во время выполнения задач теста необходимо контролировать, чтобы респонденты не списывали друг у друга. По истечении 20 мин подать команду: “Закрыть всем таблицы!” Собрать бланки и таблицы к ним.

Проверить, чтобы в правом углу регистрируемого бланка был проставлен карандашом номер обследуемого.

Скриншоты программы “Тест Равена”:

Скачать “Тест Равена” (прогрессивные матрицы Равена)

[restrict userlevel=”subscriber”]СКАЧАТЬ[/restrict]

Внимание! Использование психодиагностических методик неспециалистами может привести к недостоверным результатам и нанести прямой или косвенный ущерб испытуемому.

Тест Равена Википедия

Пример матрицы. Прослеживаемая логическая закономерность: смещение слева направо в каждом ряду фигур закрашенного квадранта по часовой стрелке на 90°, фигуры в каждом ряду одинаковые → искомая фигура в нижнем правом углу — ромб с закрашенным правым квадрантом

Тест стандартными прогрессивными матрицами Равена (Рейвена) — тест, предназначенный для дифференцировки испытуемых по уровню их интеллектуального развития. Авторы теста Джон Рейвен и Л. Пенроуз. Предложен в 1936 году. Тест Равена известен как один из наиболее «чистых» измерений фактора общего интеллекта g, выделенного Ч.

Э. Спирменом[1]. Успешность выполнения теста SPM интерпретируется как показатель способности к научению на основе обобщения собственного опыта и создания схем, позволяющих обрабатывать сложные события[2]. Этот удобный в применении и простотой в интерпретации тест, имеющий 80-летнюю историю, неоднократно подтверждал высокие показатели валидности и надежности[3]. Несмотря на снижение различительной способности в области высоких значений, возникшее ввиду тенденции роста тестовых показателей (эффект Флинна), SPM остается в арсенале многих исследователей и практиков.

Тест содержит 60 заданий, распределенных по пяти сериям. Другое название этого теста «Прогрессивные матрицы Рейвена» указывает на то, что задачи теста упорядочены по признаку возрастания трудности их решения. То есть, в каждой из пяти серий (в серии по 12 задач), каждая последующая задача серии относительно сложней предыдущей.

Результатом теста является общее количество правильно решенных заданий.  Более высокие показатели по этому тесту показывают те, кто а) быстрее, и б) точнее определяет логические закономерности в построении упорядоченного ряда состоящего из графических объектов, имеющих ограниченное количество признаков.

Согласно официальному Руководству[4], тестирование должно проводиться без ограничения времени, чтобы не дискриминировать испытуемых с «медленным» стилем мышления. В то же время, получили распространение версии теста с 20 и 30 минутными ограничениями. Имеющиеся данные показывают, что различие в результатах являются не столь значимыми, как это можно было бы представить исходя из теории. Так, оказалось, что 20-минутная версия матриц Равена надежно предсказывает результативность версии без временных ограничений[5][6]. В пользу ограничения времени говорит и то обстоятельство, что на практике сложно создать условия для безлимитного по времени тестирования, поскольку ограничения существуют более или менее явно. Режим ограничения времени обеспечивает более высокую дискриминативность, достоверность и защиту от влияния мотивации.

Распространен и комбинированный способ: задания теста выполняются без ограничения времени, но отмечается, сколько заданий выполнено верно за первые 20 минут. Таким образом, тест Стандартные прогрессивные матрицы Равена может быть использован как в качестве теста скорости (с ограничением времени выполнения заданий), так и теста результативности (без ограничений времени). Выбор режима применения теста должен осуществляться в зависимости от цели и условий диагностики (прежде всего возможности обеспечения длительной непрерывной работы испытуемого с тестом).

Для интерпретации результатов следует ориентироваться на соответствующие возрастные нормы, полученные на национальной выборке[6].

Примечания

  1. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. — Питер. — СПб., 2001.
  2. Raven J. The Raven Progressive Matrices: A Review of National Norming Studies and Ethnic and Socioeconomic Variation Within the United States (англ. ) // Journal of Educational Measuremen. — 1989. — Т. 26, № 1. — С. 1-16.
  3. Raven J. The Raven’s progressive matrices: change and stability over culture and time // Cognitive Psychology. — 2000. — Т. 41, № 1. — С. 1-48.
  4. Равен Дж., Равен Дж.К., Корт Дж.Х. Руководство к Прогрессивным Матрицам Равена и Словарным Шкалам. Раздел 3. Стандартные Прогреccивные Матрицы (включая Параллельные и Плюс версии). — «Когито-Центр». — М., 2012.
  5. Hamel R., Schmittmann V.D. The 20-Minute Version as a Predictor of the Raven Advanced Progressive Matrices Test // Educational and Psychological Measurement. — 2006. — Т. 66, № 6. — С. 1039-1046.
  6. 1 2 Давыдов Д.Г., Чмыхова Е.В. Применение теста Стандартные прогрессивные матрицы Равена в режиме ограничения времени // Вопросы психологии. — 2016. — № 4. — С. 129-139.

Ссылки

NCERT Solutions for Class 12 Science Math Глава 3

Страница № 64:
Вопрос 1:

В матрица, напишите:

(i) порядок матрицы (ii) количество элементов,

(iii) Написать элементы а 13 , а 21 , а 33 , а 24 , а 23

Ответ:

(i) В данном матрица, количество строк — 3, а количество столбцов — 4. Следовательно, порядок матрицы равен 3 × 4.

(ii) Поскольку порядок матрицы 3 × 4, всего 3 × 4 = 12 элементов в нем.

(iii) a 13 = 19, a 21 = 35, a 33 = −5, a 24 = 12, a 23 знак равно

Страница № 64:
Вопрос 2:

Если в матрице 24 элементы, в каком порядке они могут быть? Что, если на нем 13 элементы?

Ответ:

ср знать, что если матрица порядка м × n , имеет млн элементов.Таким образом, чтобы найти все возможные порядки матрицы из 24 элементов, мы должны найти все упорядоченные пары натуральных чисел, у которых продукт 24.

упорядоченные пары: (1, 24), (24, 1), (2, 12), (12, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 6) и
(6, 4)

Следовательно, Возможные порядки матрицы из 24 элементов:

1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6 и 6 × 4

(1, 13) и (13, 1) — упорядоченные пары натуральные числа, произведение которых равно 13.

Следовательно, возможные порядки матрицы, имеющей 13 элементы 1 × 13 и 13 × 1.

Страница № 64:
Вопрос 3:

Если в матрице 18 элементы, какие у него возможные порядки? Что, если на нем 5 элементы?

Ответ:

ср знать, что если матрица порядка м × n , имеет млн элементы.Таким образом, чтобы найти все возможные порядки матрицы, имеющей 18 элементов, мы должны найти все упорядоченные пары натуральных чисел произведение 18.

упорядоченные пары: (1, 18), (18, 1), (2, 9), (9, 2), (3, 6,) и (6, 3)

Следовательно, Возможные порядки матрицы из 18 элементов:

1 × 18, 18 × 1, 2 × 9, 9 × 2, 3 × 6 и 6 × 3

(1, 5) и (5, 1) — упорядоченные пары натуральные числа, произведение которых равно 5.

Следовательно, возможные порядки матрицы из 5 элементов равны 1 × 5 и 5 × 1.

Страница № 64:
Вопрос 4:

Построить а 2 × 2 матрица, элементы которого присвоены:

(i)

(ii)

(iii)

Ответ:

В общий, 2 × 2 матрица равна

(i)

Следовательно, требуемая матрица —

(ii)

Следовательно, требуемая матрица —

(iii)

Следовательно, требуемая матрица —

Страница № 64:
Вопрос 5:

Построить а 3 × 4 матрица, элементы которой равны

(i) (ii)

Ответ:

В общем, 3 × 4 матрица даётся

(i)

Следовательно, требуемая матрица —

(ii)

Следовательно, требуемая матрица —

Страница № 64:
Вопрос 6:

Найти значение x , y и z из следующего уравнения:

(i) (ii)

(iii)

Ответ:

(i)

As данные матрицы равны, соответствующие им элементы равны также равны.

Сравнение соответствующих элементов, получаем:

x = 1, y = 4, а z = 3

(ii)

As данные матрицы равны, соответствующие им элементы равны также равны.

Сравнение соответствующих элементов, получаем:

x + y = 6, xy = 8, 5 + z = 5

Сейчас, 5 + з = 5 ⇒ z = 0

Мы знаем, что:

( х л ) 2 = ( x + y ) 2 — 4 xy

⇒ ( х л ) 2 = 36 — 32 = 4

x y = ± 2

Сейчас, при x y = 2 и х + y = 6, получаем x = 4 и y = 2

Когда х г = — 2 и x + y = 6, ср получаем x = 2 и y = 4

x = 4, y = 2, а z = 0 или x = 2, y = 4, и z = 0

(iii)

As две матрицы равны, их соответствующие элементы также равны.

Сравнение соответствующих элементов, получаем:

x + и + z = 9… (1)

x + z = 5… (2)

y + z = 7… (3)

От (1) и (2) имеем:

г + 5 = 9

y = 4

Тогда, из (3) имеем:

4 + z = 7

z = 3

х + г = 5

х = 2

x = 2, y = 4 и z = 3

Страница № 64:
Вопрос 7:

Найти значение a , b , c , и d из уравнение:

Ответ:

As две матрицы равны, их соответствующие элементы также равны.

Сравнение соответствующих элементов, получаем:

a б = −1… (1)

2 а б = 0… (2)

2 а + c = 5… (3)

3 c + д = 13… (4)

От (2) имеем:

б = 2 a

Тогда, из (1) имеем:

а — 2 а = −1

и . = 1

b = 2

Сейчас, из (3) имеем:

2 × 1 + c = 5

c . = 3

От (4) имеем:

3 × 3 + d = 13

⇒ 9. + d = 13 ⇒ г = 4

a = 1, б = 2, c = 3, и d = 4

Страница № 65:
Вопрос 8:

это квадратная матрица, если

(А) м < n

(В) м > n

(К) м = n

(D) Нет из них

Ответ:

правильный ответ C.

Это известно, что данная матрица называется квадратная матрица, если количество строк равно количеству столбцы.

Следовательно, является квадратная матрица, если м = n .

Страница № 65:
Вопрос 9:

Какой заданных значений x и y марка следующая пара матриц равна

(А)

(В) Нет можно найти

(К)

(Г)

Ответ:

правильный ответ Б.

Это дается, что

Приравнивание соответствующих элементов, получаем:

ср обнаруживаем, что при сравнении соответствующих элементов двух матрицы, получаем два разных значения x , что невозможно.

Следовательно, невозможно найти значения x и y для которым данные матрицы равны.

Страница № 65:
Вопрос 10:

количество всевозможных матриц порядка 3 × 3 с каждой записью 0 или 1:

(А) 27

(В) 18

(К) 81

(Г) 512

Ответ:

правильный ответ — Д.

заданная матрица порядка 3 × 3 имеет 9 элементов, и каждый из этих элементов может быть 0 или 1.

Сейчас, каждый из 9 элементов можно заполнить двумя возможные способы.

Следовательно, по принципу умножения необходимое количество возможных Матрицы 2 9 = 512

Страница № 80:
Ответ:

(i)

(ii)

(iii)

(iv) Матрица A имеет 2 столбца. Это число равно количеству строк в матрице В . Следовательно, AB определяется как:

(в) Матрица B имеет 2 колонки. Это число равно к количеству строк в матрице A . Следовательно, BA определяется как:

Страница № 80:
Вопрос 2:

Вычислить следующие:

(i) (ii)

(iii)

(в)

Ответ:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

Страница № 80:
Вопрос 3:

Вычислить указанные товары

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(в)

(vi)

Ответ:

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(в)

( vi)

Страница № 81:
Ответ:

Страница № 81:
Вопрос 5:

Если а потом вычислить.

Ответ:

Страница № 81:
Вопрос 6:

Упростить

Ответ:

Страница № 81:
Вопрос 7:

Найти X и Y , если

(i) и

(ii) и

Ответ:

(i)

Добавление уравнения (1) и (2), получаем:

(ii)

Умножение уравнение (3) с (2), получаем:

Умножение уравнение (4) с (3), получаем:

От (5) и (6) имеем:

Сейчас,

Страница № 81:
Вопрос 8:

Найдите X , если а также

Ответ:

Страница № 81:
Вопрос 9:

Найти x и y , если

Ответ:

Сравнение соответствующих элементов этих двух матриц, имеем:

x = 3 и y = 3

Страница № 81:
Вопрос 10:

Решить уравнение для x , и , и и т , если

Ответ:

Сравнение соответствующих элементов этих двух матриц, получаем:

Страница № 81:
Вопрос 11:

Если, найти значения x и y .

Ответ:

Сравнение соответствующих элементов этих двух матриц, получаем:

2 x л = 10 и 3 x + y = 5

Добавление эти два уравнения, мы имеем:

5 x = 15

x . = 3

Сейчас, 3 x + y = 5

y . = 5 — 3 x

y . = 5 — 9 = −4

x = 3 и y = −4

Страница № 81:
Вопрос 12:

Дано, найти значения x , и , и а также

w .

Ответ:

Сравнение соответствующих элементов этих двух матриц, получаем:

Страница № 82:
Вопрос 13:

Если, покажи это.

Ответ:

Страница № 82:
Вопрос 14:

Покажите, что

(i)

(ii)

Страница № 82:
Вопрос 15:

Найти если

Ответ:

ср иметь A 2 = А × А

Страница № 82:
Вопрос 16:

Если, докажи это

Ответ:

Страница № 82:
Вопрос 17:

Если а также, найти k так что

Ответ:

Преобразований — OpenTK

Теперь мы знаем, как создавать объекты, раскрашивать их и / или придавать им детальный вид с помощью текстур, но они все еще не так интересны, поскольку все они статические. Мы могли бы попытаться заставить их двигаться, изменяя их вершины и реконфигурируя их буферы каждый кадр, но это громоздко и требует значительных вычислительных ресурсов. Есть гораздо более эффективные способы преобразования объекта, и это с помощью (нескольких) матричных объектов. Это не значит, что мы будем говорить о кунг-фу и большом цифровом искусственном мире.

Матрицы

— это очень мощные математические конструкции, которые сначала могут показаться пугающими, но как только вы к ним привыкнете, они окажутся чрезвычайно полезными.При обсуждении матриц нам придется немного погрузиться в математику, а для более склонных к математике читателей я опубликую дополнительные ресурсы для дальнейшего чтения.

Однако, чтобы полностью понять преобразования, мы сначала должны немного углубиться в векторы, прежде чем обсуждать матрицы. Основная цель этой главы — дать вам базовую математическую подготовку по темам, которые нам понадобятся позже. Если предметы сложные, постарайтесь понять их как можно больше и возвращайтесь на эту страницу позже, чтобы пересмотреть концепции, когда они вам понадобятся.

Векторы

В самом базовом определении векторы — это направления и ничего более. Вектор имеет направление и величину (также известную как его сила или длина). Вы можете думать о векторах как о направлениях на карте сокровищ: «пройдите 10 шагов налево, теперь пройдите 3 шага на север и 5 шагов направо»; здесь «влево» — это направление, а «10 шагов» — это величина вектора. Таким образом, направления карты сокровищ содержат 3 вектора. Векторы могут иметь любые размеры, но обычно мы работаем с размерами от 2 до 4.Если вектор имеет 2 измерения, он представляет направление на плоскости (подумайте о 2D-графиках), а когда он имеет 3 измерения, он может представлять любое направление в трехмерном мире.

Ниже вы увидите 3 вектора, каждый из которых представлен стрелками (x, y) на двухмерном графике. Поскольку отображение векторов в 2D (чем в 3D) является более интуитивным, вы можете думать о 2D-векторах как о 3D-векторах с координатой z, равной 0. Поскольку векторы представляют направления, начало координат вектора не меняет своего значения. На графике ниже мы видим, что векторы v и w равны, хотя их происхождение различно:

При описании векторов математики обычно предпочитают описывать векторы как символьные символы с небольшой полосой над головой.Однако мы не можем сделать это в Markdown, поэтому вместо этого мы выделим имена векторов жирным шрифтом, например v . Также при отображении векторов в формулах они обычно отображаются следующим образом:

Поскольку векторы задаются как направления, иногда их трудно визуализировать как позиции. Что мы в основном визуализируем, так это то, что мы устанавливаем начало направления на (0,0,0) , а затем указываем в определенном направлении, которое задает точку, делая его вектором положения (мы также могли бы указать другое начало и затем сказать : ‘этот вектор указывает на эту точку в пространстве от этого начала’).Тогда вектор положения (3,5) будет указывать на (3,5) на графике с началом (0,0) . Таким образом, используя векторы, мы можем описывать направления и позиции в 2D и 3D пространстве.

Как и в случае с обычными числами, мы также можем определить несколько операций с векторами (некоторые из которых вы уже видели).

Скалярные векторные операции

Скаляр — это одна цифра (или вектор с одним компонентом, если вы хотите остаться в стране векторов). При сложении / вычитании / умножении или делении вектора на скаляр мы просто добавляем / вычитаем / умножаем или делим каждый элемент вектора на скаляр.Для сложения это будет выглядеть так:

Где + может быть + , , или ÷ , где — оператор умножения. Имейте в виду, что для операторов и ÷ обратный порядок не определен.

Векторное отрицание

Отрицание вектора приводит к вектору в обратном направлении. Вектор, указывающий на северо-восток, после отрицания будет указывать на юго-запад. Чтобы инвертировать вектор, мы добавляем знак минус к каждому компоненту (вы также можете представить это как умножение скалярного вектора со скалярным значением -1):

Сложение и вычитание

Сложение двух векторов определяется как покомпонентное сложение, то есть каждый компонент одного вектора добавляется к одному и тому же компоненту другого вектора следующим образом:

Визуально это выглядит так на векторах v = (4,2) и k = (1,2) :

Как и обычное сложение и вычитание, вычитание вектора аналогично сложению с инвертированным вторым вектором:

Вычитание двух векторов друг из друга дает вектор, который представляет собой разность позиций, на которые указывают оба вектора.Это оказывается полезным в определенных случаях, когда нам нужно получить вектор, являющийся разницей между двумя точками.

Длина

Чтобы получить длину / величину вектора, мы используем теорему Пифагора, которую вы, возможно, помните из своих математических классов. Вектор образует треугольник, когда вы визуализируете его отдельные компоненты x и y как две стороны треугольника:

Где || v || обозначается как — длина вектора v .2 в уравнение.

В данном случае длина вектора (4, 2) равна:

То есть 4,47 .

Существует также особый тип вектора, который мы называем единичным вектором . Единичный вектор имеет одно дополнительное свойство, а именно то, что его длина равна точно 1. Мы можем вычислить единичный вектор n из любого вектора, разделив каждый из компонентов вектора на его длину:

Мы называем это нормализующим вектором.Единичные векторы отображаются с небольшой крышей над головой и, как правило, с ними легче работать, особенно когда мы заботимся только об их направлениях (направление не меняется, если мы изменяем длину вектора).

Умножение вектор-вектор

Умножение двух векторов — немного странный случай. Нормальное умножение на самом деле не определено для векторов, поскольку оно не имеет визуального значения, но у нас есть два конкретных случая, из которых мы могли бы выбрать при умножении: один — это точечное произведение , обозначенное как v k , а другой перекрестное произведение обозначено как v × k .

Матрицы и системы уравнений

6.1 — Матрицы и системы уравнений

Определение матрицы

  • Прямоугольный массив действительных чисел
  • м рядов по n столбцов
  • Названо заглавными буквами
  • Первый нижний индекс — строка, второй нижний индекс — столбец

Терминология

  • Матрица с м строк и n столбцов называется матрицей порядка м x n .
  • Квадратная матрица — это матрица с равным количеством строк и столбцов. Поскольку количество строки и столбцы одинаковые, говорят, что он имеет порядок n .
  • Основная диагональ квадратной матрицы — это элементы от левого верхнего до правого нижнего угла. матрица.
  • Матрица-строка — это матрица, имеющая только одну строку.
  • Матрица столбцов — это матрица, которая имеет только один столбец.
  • Матрица только с одной строкой или одним столбцом называется вектором.

Преобразование систем линейных уравнений в Матрицы

Каждое уравнение в системе превращается в строку. Каждая переменная в система становится колонной. Переменные отбрасываются, а коэффициенты помещаются в матрицу. Если правая часть включена, это называется расширенной матрицей. Если правая сторона не указана, это называется матрицей коэффициентов.

Система линейных уравнений …

 х + у - г = 1
3х - 2у + г = 3
4x + y - 2z = 9 

становится расширенной матрицей…

х y z справа
1 1 –1 1
3 -2 1 3
4 1 -2 9

Операции с элементарной строкой

Элементарные операции со строками — это операции, которые могут быть выполнены с матрицей, которая даст эквивалентная строка матрица. Если матрица является расширенной матрицей, построенной из системы линейных уравнений, то эквивалентная строка матрица будет иметь то же решение, что и исходная матрица.

При работе с системами линейных уравнений вы могли выполнять три операции. что не повлияет на набор решений.

  1. Поменяйте местами два уравнения.
  2. Умножьте уравнение на ненулевую константу.
  3. Умножьте уравнение на ненулевую константу и добавьте его к другому уравнению, заменив это уравнение.

Когда система линейных уравнений преобразуется в расширенную матрицу, каждое уравнение становится ряд. Итак, теперь есть три элементарные операции со строками, которые производят эквивалент строки матрица.

  1. Замена двух рядов
  2. Умножить строку на ненулевую константу
  3. Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее в другую строку, заменив эту строку.

Формы рядов-эшелонов и сокращенных рядов-эшелонов

Это эквивалентные строкам формы матрицы. Несложно решить систему линейных уравнений когда матрицы находятся в одной из этих форм.

Форма рядного эшелона

Матрица находится в виде эшелона строк, когда выполняются следующие условия.

  1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  2. Первый ненулевой элемент любой строки — это единица. Этот элемент называется ведущим.
  3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
Банкноты
  • Ведущий в ряду не обязательно должен быть рядом с справа от ведущего предыдущий ряд.
  • Матрица в виде эшелона строк будет иметь нули под ведущими.
  • Метод исключения Гаусса переводит матрицу в форму строки-эшелон, а затем выполняется обратная подстановка. требуется, чтобы завершить поиск решений системы.
  • Строчная форма матрицы не обязательно уникальна.

Уменьшенная форма рядного эшелона

Матрица находится в сокращенной форме строки-эшелона, когда выполняются все условия формы строка-эшелон и все элементы выше и ниже, ведущие равны нулю.

  1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  2. Первый ненулевой элемент любой строки — это единица. Этот элемент называется ведущим.
  3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
  4. Все элементы выше и ниже ведущего равны нулю.
Банкноты
  • Ведущий в ряду не обязательно должен быть рядом с справа от ведущего предыдущий ряд.
  • Матрица в виде эшелона строк будет иметь нули как над, так и под ведущими.
  • Метод исключения Гаусса-Жордана переводит матрицу в сокращенную форму строки-эшелона.
  • Для завершения поиска решений в системе не требуется обратной замены.
  • Редуцированная строка-эшелонированная форма матрицы уникальна.

Исключение по Гауссу

  • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в форму строки-эшелона
  • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
  • Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы

Гаусс-Джордан Ликвидация

  • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в сокращенную форму строки-эшелон
  • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
  • Обратной замены не требуется

Поворотный

  • Поворот — это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в рядный эшелон или сокращенный рядный эшелон форма
  • В частности, при повороте элементы выше или ниже ведущей единицы превращаются в нули

Типы решений

Существует три типа решений, которые возможны при решении системы линейных уравнений.

Независимый

  • Согласованный
  • Уникальное решение
  • Матрица с сокращенной строкой имеет такое же количество ненулевых строк, что и переменные
  • Левая часть обычно представляет собой единичную матрицу, но не обязательно
  • Для получения независимого решения должно быть как минимум столько же уравнений, сколько переменных.
х y z справа
1 0 0 3
0 1 0 1
0 0 1 2

Когда вы конвертируете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x = 3, y = 1 и z = 2.

Зависимые

  • Согласованный
  • Множество решений
  • Запишите ответ в параметрической форме
  • Матрица с сокращенной строкой имеет больше переменных, чем ненулевых строк
  • Не обязательно должен быть ряд нулей, но обычно он есть.
  • Это также может произойти, когда уравнений меньше, чем переменных.
х y z справа
1 0 3 4
0 1 -2 3
0 0 0 0

Первое уравнение будет x + 3z = 4. Решение относительно x дает x = 4 — 3z.

Второе уравнение будет y — 2z = 3. Решение для y дает y = 3 + 2z.

Столбец z не очищается (все нули, кроме одно число), поэтому другие переменные будут определены через z. Следовательно, z будет параметром t и решение …

x = 4 — 3t, y = 3 + 2t, z = t

Несоответствие

  • Нет решения
  • Матрица с сокращенной строкой имеет строку нулей с левой стороны, но правая часть не равна нулю.
х y z справа
1 0 3 4
0 1 -2 3
0 0 0 2

Тут решения нет.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *